Il est conseillé d'avoir lu la partie assemblage avant de lire ceci.

La première étoile que l'on m'a apprise est celle présentée dans la partie assemblage : si l'on assimile chaque pointe à un tétraèdre, alors les bases triangulaire de tous les tétraèdres forment un icosaèdre (voir ici), c'est-à-dire un polyèdre régulier à 20 faces triangulaires.
Voici l'étoile :
On obtient cette forme en rassemblant les pointes cinq par cinq autour d'un "trou". Ainsi, pour obtenir une étoile utilisant moins de modules, on peut réduire le nombre de pointes que l'on rassemble autour d'un trou.
Voici quelques exemples :

Etoiles plus petites...

En rassemblant les pointes quatre par quatre, on obtient ceci :
Cette étoile nécessite 12 modules et on obtient 8 pointes. Le polyèdre de base est donc un octaèdre (voir ici).

En rassemblant les pointes trois par trois, on obtient ceci :
Cette étoile nécessite 6 modules et on obtient 4 pointes. Le polyèdre de base est donc un tétraèdre régulier : ses quatre faces sont des triangles équilatéraux (voir ici).

Et enfin, poussons le raisonnement jusqu'au bout, même si la forme présente moins d'intérêt : en rassemblant les pointes deux par deux, on utilise 3 modules et on obtient 2 pointes. La figure de base est donc un simple triangle équilatéral (et n'est plus en volume) :

On se rend vite compte qu'il existe une relation entre le nombre de modules et le nombre de pointes obtenues valable pour toutes ces étoiles :
nb_pointes/nb_modules = 2/3

De même qu'on diminue le nombre de pointe et la taille de l'étoile en diminuant le nombre de pointes rassemblées autour d'un trou, on pourrait penser qu'il suffit d'augmenter ce nombre pour augmenter la taille de l'étoile...
Mais ce n'est pas si simple !! Le moyen le plus simple pour s'en rendre compte est de faire un dessin. C'est ce qui suit !!

Plans...

J'ai utilisé une méthode pour représenter l'étoile par un schéma. Voici la légende :

Remarque : Le trait principal sur le schéma représentant un module peut être courbé pour les besoins du dessin.
Voici donc les schémas des étoiles présentées plus haut (cliquez dessus pour les agrandir) :
Etoile à 20 pointes :
Etoile à 8 pointes :
Etoile à 4 pointes :
Etoile à 2 pointes :

Etoiles plus grandes...

Maintenant que nous savons comment représenter notre étoile, on peut essayer de voir ce que nous donnerait une étoile où l'on rassemblerait six pointes autour d'un trou. Voilà le schéma (incomplet) :

Immédiatement quelque chose saute aux yeux par rapport aux autres schémas : on n'a pas besoin de courber les traits représentant les modules, c'est-à-dire que l'on peut dessiner des hexagones réguliers collés les uns aux autres. Cela implique que l'étoile n'a pas "besoin" de passer en trois dimensions lorsque l'on ferme le "cercle" autour d'un trou.
Si l'on créait cette étoile, on obtiendrait en fait un "tapis" de pointes qui pourrait s'étendre à l'infini.

Alors comment faire ?!

Avec sept pointes autour d'un trou ?
Personnellement je n'ai pas retenu cette solution. Il me semble que j'avais fait un essai mais je crois que l'heptagone n'était pas très régulier et puis de toutes façons les pointes deviennent trop serrées.
En fait je me suis longtemps posé la question avant d'avoir la preuve que ce que je pensais pouvait fonctionner. Le principe est de combiner les rassemblements de cinq pointes et de six pointes. Au début je me demandais si cela pouvait donner quelque chose qui serait régulier (qui serait en fait inscrit dans une sphère).
Et puis c'est en regardant un jour d'un peu plus près le ballon de foot de mon chien que je me suis aperçu qu'il était composé de pentagones entourés d'hexagones, et qu'au final il était bien régulier.
Je me suis donc précipité pour faire un plan de ma future étoile et voici plus ou moins ce que j'ai obtenu :

Remarque : J'ai un peu modifié la légende pour repérer facilement les pentagones et les hexagones. Les trous entre cinq pointes sont représentés par des points et les trous entre six pointes sont représentés par des croix.
On obtient donc une étoile à 60 pointes nécessitant 60*3/2 = 90 modules.
Voici la photo :

En partant sur le même principe, mais en entourant chaque pentagone de deux rangées d'hexagones (en fait la deuxième n'est pas complète), on peut encore obtenir une étoile différente.
Voici le schéma :
Et voilà la bête :
Si faire un schéma n'était pas indispensable à la réalisation des étoiles précédentes, je trouve que cela s'avère bien pratique pour cette étoile-ci, afin de savoir où l'on est et combien de pointes on doit rassembler.

Et voilà c'est fini (enfin). J'espère que je ne vous ai pas trop embrouillé...
En tout cas merci de m'avoir lu.
A bientôt !!

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